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“快!数一数压坏了几根萝卜!”那破破烂烂的男人和脏兮兮的男人慌慌张张地喊道。他们手里也每人提着一代萝卜。
那女孩却突然在地上大笑起来:“哈……哈哈……哈哈哈哈!我想明白了!”
毫无疑问,衣服破破烂烂的男人是格里高利,脏兮兮的男人是戈特弗里德,而那女孩就是艾拉。
他们三人正在前往迪特马申的路上,途径汉堡市。一路上,艾拉都缠着戈特弗里德要学毕达哥拉斯学派的数学知识,戈特弗里德觉得麻烦,就出了几个几何题想劝退她,谁知艾拉很快就解了出来。戈特弗里德只好不停地加深着几何题的难度,这一路下来,解开题目所需的辅助线已经从一两根变成十来根了,可艾拉学的依旧是轻轻松松。
思路客
汉堡市离施塔德已经很近了,可是艾拉沉迷于做几何题,竟完全没想过要回去。
“戈特弗里德!看你干的好事!你把这个无辜的女孩子给教疯了!”
格里高利在一旁抱怨着。艾拉学数学,难过的是他。他本来也有一些数学的基础,戈特弗里德出题,艾拉做,他没事干,就不动声色地在一旁默想。他倒也不是跟不上,只随着难度增加,他的脑子大多数时间都是处在浆湖中,每次都要等艾拉解题解到一半,他才如梦初醒。
“我只是教她做了几道几何题而已!肯定只是她刚刚那一跤摔坏脑子的缘故!”
戈特弗里德慌忙撇开关系,但底气却显然不足。即便在他眼中,艾拉这几天也是学到有些神神叨叨的状态了。他担心这样学下去,艾拉的灵魂会在和魔法无关的另一个意义上“飞升”。
“我才没有摔坏脑子!”艾拉抗议到,“我只是突然想明白了一些事情!”
说着,她捡起一根萝卜,说了一声“1”,又捡起第二根萝卜,说了一声“2”,然后又捡起第三根萝卜,说了一声“3”。她把这三根萝卜放回到地上,抬头说道:“明白了么?”
“只有三根萝卜完好?”
“才不是!我是在说数字的起源!1、2、3……这些数字的写法,七丘帝国和天方帝国完全不同,但都表示着同样的含义。而且不管是哪个国家的语言,数字都不会比其他国家少掉一两个,不会说七丘帝国只有1、3,没有2,也不会说天方帝国只有1、2,没有3。为什么会这样?因为这些数都是来自对真实存在的事物的计量需要!整数就是这样诞生的,不管是哪个国家都是一样的!”
说完艾拉把三根萝卜分成了三份,给格里高利一根,又了戈特弗里德一根,给自己留下了一根,然后看向那两人,又问道:“明白了么?”
格里高利看了眼萝卜,问道:“你是想说,分数是这样诞生的?”
“没错!不管是整数还是分数,都是因为人们的运用需要而产生的!在很长时间里,这两种数能满足人们的所有需求,以至于所有人都认为,数只有这两种——实际上只有一种,因为任何整数都可以表示成分数。”
艾拉难掩自己心中年的激动。
“但现在,我们在几何问题中发现了一个特殊的数——比起承认这个数的分子分母不管除于几个二都是偶数,不如认为这个数根本不能用分数来表示才更符合人们的理性吧?既然分数不够用了,那我们为什么不能创造一个新的数呢?就像人们创造分数一样?”
说完,艾拉满怀期望地看向戈特弗里德。她以为她已经解决了困扰毕达哥拉斯学派的难题,谁知戈特弗里德听了,却像早已经预料到一般笑了起来。
“恭喜你踏上了掌握无限的第一步。你确实有天赋,因为你花的时间比我少的多。”
艾拉一怔:“你早就知道这个答桉?”
“这是理所当然的。这个数既然能用一条有限的线段表示,那它就不可能是无限的。虽然它用小数表示可以无限延续下去,但它却是一个有限的、可以丈量的数字。你误认为它是无限大的,只是因为你使用的工具局限在分数上罢了,换一个工具,一切将变得海阔天空。”
说着,戈特弗里德蹲下身子,在地上写了一个根号的符号。
“我就用这样一个符号来表示这一类数字。因为我们讨论的数字的平方是二,那就把二写在这个符号下面就行了。”
“毫无意义。”格里高利轻哼一声,“只是用了一个象征的符号罢了。这根本就不是一个数。”
“这当然是数,因为它遵守着一定的数学法则。而且我还可以在数轴上将他标出来。你看,在数轴上做一个同样的直角三角形,然后用圆轨划下来,就能找到它在数轴上的具体位置了……”
“玩弄名词的小把戏。”格里高利说道,“你看看你自己的这个符号,和商人们做除法的框框几乎一模一样。你只是把过程定义成了结果,然而这个过程该如何进行,你丝毫没有解答。”
而艾拉在意的则是和格里高利完全不同的地方。
“既然这个数能用数字表达,甚至能在数轴上找到位置,那毕达哥拉斯学派还在疑惑什么呢?”
“首先,这个数的表示的方式、在数轴上的位置、以及其运算法则,都是由我发现的,大部分毕达哥拉斯学派的成员并不清楚。”
顿了顿,戈特弗里德继续说道:
“其次,即使如此,毕达哥拉斯学派‘万物皆数’的魔法原理也是有问题的。因为这个数在数轴上的表达必定要依靠几何,而几何的问题却完全可以脱离数……在对几何的研究中,毕达哥拉斯学派的成员越来越深刻的意识到,大多数几何的问题只能用几何的技巧解决,而无法用数字与公式。毕达哥拉斯学派的魔法强度基于使用者对数学的理解,可数学功底越深厚的,就越能意识到几何同数这两者间那不可逾越的鸿沟。所以……想要学习毕达哥拉斯学派的魔法,还是算了吧。”
“容我插一句话。”格里高利把手中的麻袋提了提,“我们……到底为什么要买那么多萝卜?”
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