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只能说,与超巨大基数相比,那什么可测基数、武丁基数、超紧致基数确实弱爆了。
至于超巨大基数到底有多么巨大,这便又是一个较为复杂的问题了。
首先,其与超紧致基数之间,就存在有诸多庞大的高阶大基数。
譬如,毗邻超紧致基数“比较近”的一个大基数,即是可扩展基数。
这一大基数的根本定义和数理结构,则是……若一个基数δ被称为可扩展的,那么它对于每个λ>δ,都将存在一个e<λ的初始段vλ,以及一个从vλ到ve的元素嵌入映射π,继而满足π(δ)=δ且π不是恒等映射这一结果。
这一数理定义用大白话来讲,便是意味着可扩展基数能够“伸展”到比它自身更小的宇宙模型当中,同时又保持一定的自身结构特性。
非常神奇。
另外,所谓的“可扩展性”,恰恰就是“强紧凑性”的二阶类比。
同时,除却可扩展基数以外。
超巨大基数之下还赫然存在着巨大基数、殆巨大基数,以及沃彭卡原理。
所谓沃彭卡原理,即是与集合论、范畴论、模型论密切相关的一种重要数学原理。
其主要内容简单概括起来,即是对于一些语言的任意真类结构,都存在一个初等嵌入,可以嵌入至另一个真类结构内的成员中。
因此,通过这一原理可以导出一系列关于真类结构与初等嵌入的性质。
这些性质,又会关系到不可达基数和它们在模型理论当中的种种应用。
接着莅立于沃彭卡原理之上的,便是殆巨大基数。
理论上来讲,若一个基数k为殆巨大基数,那么对于任何的正则基数λ>k,就都会存在一个λ-完全的超滤子u在pk(λ)上,继而使得对于任何x?pk(λ)。
同时,若x在u中是成立的,那么亦会存在一个函数f:λ→k,继而使得对于任何αλ,x中都会存在y,进而使得ynxα=?,并且f“y?xα。
可以说,这种殆巨大基数的性质之强大,甚至可以让其能够推出并证明,像是可测基数、强基数、超紧基数等等诸多“更小”大基数的性质与一致性强度。
而位于殆巨大基数之上,与超巨大基数之下的巨大基数,其数理本质则是……v中存在的一个初等嵌入j:v→从v到一个具有临界点k的可传递内模型。
这其中所提到的“初等嵌入”概念,简单来说,便是定义在两个集合论域间的一种映射。
或者说,初等嵌入即是一种能够保持集合结构的函数,它不仅保持元素之间的关系,还会保持逻辑形式的关系。
举例说明,给定两个集合和n,若存在一个映射j:→n,使得对于任意中的公式φ和参数a,中φ[a]成立当且仅当n中φ[j(a)]成立,那么便可称j是一个从到n的初等嵌入。
至于巨大基数的数理结构,便是假若α是一个极限序数,使得α>0,那么便可以说一个不可数的正则基数k是α-巨大的。
同时,若存在一个基数〈k?:β<α〉这样的递增序列,那么对于所有的β<α即是vk??vk。
随后,如果n>1,以及〈β?:i<n〉是一个小于α的序数的递增序列,那么β?≠0,这对于所有的β"<β?,就都存在一个初等嵌入j:vk?????vk????,和临界点k?"与j(k?")=k??与j(k??)=k????。
尔后,若0≤in–2,且β?=0,则对于所有i,都会存在一个具有临界点k"k?和j(k")=k?和j(k??)=k????的初等嵌入j:vk?????vk????,进而使得0≤in–2。
在此,便终于可引入超巨大基数概念了——
即,若一个基数k是k-巨大的,就可称其为超巨大基数。
更进一步说,一个基数k被称为超巨大,如果存在一个从vk到vk的初等嵌入,那么其中vk就是所有秩小于或等于k的集合所组成的巨大逻辑模型。
而超巨、巨大、殆巨三者的关系,则便是——若k是巨大基数,就存在一个位于k上的正规超滤子u,使得{αk|α-殆巨大基数}∈u;若k是超巨大基数,则k便是可扩展基数,并且存在一个k上的正规超滤子u,使得{αk|α-可扩展基数}∈u;若k是2-巨大基数,即会存在一个k上的正规超滤子u,使得{αk|vk|=α-超大基数}∈u。
与此同时,在到达了巨大基数以及超巨大基数的层面后,亦会与名为i3、i2、i1与i0的这几个公理产生密切关联。
所谓公理i3,便是:存在vλ到自身的非平凡基本嵌入;
至于公理i2,是:v存在一个非平凡基本嵌入到包含vλ的传递类,λ为临界点上方的第一个不动点;
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